HOMILIA DOMINICAL
13 DE SETEMBRO DE 2026
24º DOMINGO DO TEMPO COMUM

Leitura do Dia

Primeira Leitura
Leitura do Livro do Eclesiástico - 27,33-28,9

O rancor e a raiva são coisas detestáveis; até o pecador procura dominá-las.
Quem se vingar encontrará a vingança do Senhor, que pedirá severas contas dos seus pecados.
Perdoa a injustiça cometida por teu próximo: assim, quando orares, teus pecados serão perdoados.
Se alguém guarda raiva contra o outro, como poderá pedir a Deus a cura?
Se não tem compaixão do seu semelhante, como poderá pedir perdão dos seus pecados?
Se ele, que é um mortal, guarda rancor, quem é que vai alcançar perdão para os seus pecados?
Lembra-te do teu fim e deixa de odiar; pensa na destruição e na morte, e persevera nos mandamentos.
Pensa nos mandamentos, e não guardes rancor ao teu próximo.
Pensa na aliança do Altíssimo, e não leves em conta a falta alheia!

Segunda Leitura
Leitura da Carta de São Paulo aos Romanos - 14,7-9

Irmãos:

Ninguém dentre nós vive para si mesmo ou morre para si mesmo. 
Se estamos vivos, é para o Senhor que vivemos; se morremos, é para o Senhor que morremos.
Portanto, vivos ou mortos, pertencemos ao Senhor.
Cristo morreu e ressuscitou exatamente para isto: para ser o Senhor dos mortos e dos vivos.

Evangelho do Dia
Proclamação do Evangelho de Jesus Cristo segundo Mateus - 18,21-35

Naquele tempo, 
Pedro aproximou-se de Jesus e perguntou:
"Senhor, quantas vezes devo perdoar, se meu irmão pecar contra mim? Até sete vezes?"
Jesus respondeu:
"Não te digo até sete vezes, mas até setenta vezes sete.
Porque o Reino dos Céus é como um rei que resolveu acertar as contas com seus empregados.
Quando começou o acerto, levaram-lhe um que lhe devia uma enorme fortuna.
Como o empregado não tivesse com que pagar, o patrão mandou que fosse vendido como escravo, junto com a mulher e os filhos e tudo o que possuía, para que pagasse a dívida.
O empregado, porém, caíu aos pés do patrão e, prostrado, suplicava:
'Dá-me um prazo! e eu te pagarei tudo!'
Diante disso, o patrão teve compaixão, soltou o empregado e perdoou-lhe a dívida.
Ao sair dali, aquele empregado encontrou um dos seus companheiros que lhe devia apenas cem moedas.
Ele o agarrou e começou a sufocá-lo, dizendo: 'Paga o que me deves'.
O companheiro, caindo aos seus pés, suplicava: 'Dá-me um prazo, e eu te pagarei!'
Mas o empregado não quis saber disso.
Saiu e mandou jogá-lo na prisão, até que pagasse o que devia.
Vendo o que havia acontecido, os outros empregados ficaram muito tristes, procuraram o patrão e lhe contaram tudo.
Então o patrão mandou chamá-lo e lhe disse:
'Empregado perverso, eu te perdoei toda a tua dívida, porque tu me suplicaste.
Não devias tu também ter compaixão do teu companheiro, como eu tive compaixão de ti?'
O patrão indignou-se e mandou entregar aquele empregado aos torturadores, até que pagasse toda a sua dívida.
É assim que o meu Pai que está nos céus fará convosco, se cada um não perdoar de coração ao seu irmão".
Palavra da Salvação.

As palavras dos Papas

Na parábola, encontramos duas atitudes diferentes: a de Deus - representado pelo rei - que perdoa muito, porque Deus perdoa sempre, e a do homem. Na atitude divina, a justiça está impregnada de misericórdia, enquanto que a atitude humana se limita à justiça. Jesus exorta-nos a abrir-nos corajosamente à força do perdão, porque na vida, sabemos que nem tudo é resolvido pela justiça. Precisamos desse amor misericordioso, que é também a base da resposta do Senhor à pergunta de Pedro que precede a parábola. (...)  A parábola de hoje ajuda-nos a compreender plenamente o significado da frase que recitamos na oração do Pai-Nosso: “Perdoai-nos as nossas ofensas assim como nós perdoamos a quem nos tem ofendido” (Mt 6, 12). Estas palavras contêm uma verdade decisiva. Não podemos pretender para nós o perdão de Deus, se, por nossa vez, não concedemos o perdão ao nosso próximo. É uma condição: pensa no fim, no perdão de Deus, e deixa de odiar; afasta o rancor, aquela mosca irritante que volta sempre. Se não nos esforçarmos por perdoar e amar, também não seremos perdoados nem amados. Confiemo-nos à intercessão materna da Mãe de Deus: que ela nos ajude a darmo-nos conta de quanto devemos a Deus, e a recordá-lo sempre, para que possamos ter o nosso coração aberto à misericórdia e à bondade.

NOTÍCIAS EM DESTAQUE 
VITIMAS DO TRÂNSITO JÁ OCUPAM 80% DOS LEITOS 

 De cada dez leitos de Unidades de Tratamento Intensivo (UTIs) no país, seis são ocupados por vítimas de acidentes de trânsito. E, dessas internações, quatro são de motociclistas. A estimativa foi apresentada pelo diretor do Departamento de Medicina Ocupacional da Abramet (Associação Brasileira de Medicina de Tráfego), Dirceu Rodrigues, no 16 5 Etransport, congresso sobre mobilidade urbana, que terminou sexta-feira no Rio.

Os dados foram reunidos a partir de uma série de pesquisas acadê micas, realizadas por programas de graduação e pós-graduação no país inteiro. Segundo o Ministério da Saúde, no ano passado foram 169.869 internações no Sistema Único de Saúde, que custaram R$ 229,4 milhões aos cofres públicos.

Para a Abramet, o aumento do número de motocicletas no país estaria relacionado a esses dados. "A motocicleta está entrando fortemente no nosso cenário de trânsito, com 1 milhão de motos novas a cada ano, e é um veículo com um risco de utilização maior do que os demais", ressalta o especialista em Medicina de Tráfego da Abramet, Fernando Moreira.

Segundo ele, as UTIs do país todo estão sendo ocupadas por jovens do sexo masculino, em grande parte vítimas de acidentes de motocicleta, causando superlotação dos leitos de ortopedia e impedindo que pacientes com doenças crônicas tenham acesso ao atendimento adequado. Para reverter esse quadro, o especialista defende que os municípios devem investir não só em fiscalização, sinalização e ordenação do trânsito, mas principalmente no transporte público. "Privilegiar o transporte coletivo é forma importante de trazer mais qualidade para as grandes cidades, reduz o número de carros nas ruas e, consequentemente, o índice de acidentes", frisou Moreira.

O professor Charles Thomas Scialfa, do Departamento de Psicologia da Calgary University, do Canadá, também participou do congresso e apontou que, em mé dia, 40% das colisões são causadas porque motoristas não conseguem detectar fatores de risco que se aproximam do veículo. Ele sugere que, nos processos de habilitação do Brasil, sejam feitos testes de percepção do perigo. "Nestes testes, que podem ser feitos em 15 minutos no computador, as pessoas têm de apontar onde estão os riscos em um simulador", explicou Scialfa.

Fonte: Abramet

HOMILIA DOMINICAL
6 DE SETEMBRO DE 2026
23º DOMINGO DO TEMPO COMUM 

Leitura do Dia

Primeira Leitura
Leitura da Profecia de Ezequiel - 33,7-9

Assim diz o Senhor:
"Quanto a ti, filho do homem, eu te estabeleci como vigia para a casa de Israel.
Logo que ouvires alguma palavra de minha boca, tu os deves advertir em meu nome.
Se eu disser ao ímpio que ele vai morrer, e tu não lhe falares, advertindo-o a respeito de sua conduta, o ímpio vai morrer por própria culpa, mas eu te pedirei contas da sua morte.
Mas, se advertires o ímpio a respeito de sua conduta, para que se arrependa, e ele não se arrepender, o ímpio morrerá por própria culpa, porém, tu salvarás tua vida.

Segunda Leitura
Leitura da Carta de São Paulo aos Romanos - 13,8-10

Irmãos:
Não fiqueis devendo nada a ninguém, a não ser o amor mútuo, pois quem ama o próximo está cumprindo a Lei.
De fato, os mandamentos:
"Não cometerás adultério", "Não matarás", "Não roubarás",  "Não cobiçarás", e qualquer outro mandamento, se resumem neste:
"Amarás a teu próximo como a ti mesmo".
O amor não faz nenhum mal contra o próximo.
Portanto, o amor é o cumprimento perfeito da Lei.

Evangelho do Dia
Proclamação do Evangelho de Jesus Cristo segundo Mateus - 18,15-20

Naquele tempo, Jesus disse a seus discípulos:
"Se o teu irmão pecar contra ti, vai corrigi-lo, mas em particular, a sós contigo!
Se ele te ouvir, tu ganhaste o teu irmão. 
Se ele não te ouvir, toma contigo mais uma ou duas pessoas, para que toda a questão seja decidida sob a palavra de duas ou três testemunhas.
Se ele não vos der ouvido, dize-o à Igreja.
Se nem mesmo à Igreja ele ouvir, seja tratado como se fosse um pagão ou um pecador público.
Em verdade vos digo, tudo o que ligardes na terra será ligado no céu, e tudo o que desligardes na terra será desligado no céu.
De novo, eu vos digo:
se dois de vós estiverem de acordo na terra sobre qualquer coisa que quiserem pedir, isso lhes será concedido por meu Pai que está nos céus.
Pois, onde dois ou três estiverem reunidos em meu nome, eu estou aí, no meio deles".

As palavras dos Papas

Se o meu irmão comete uma falta contra mim, devo usar de caridade para com ele e, antes de tudo, falar-lhe pessoalmente, recordando-lhe que quanto disse ou fez não é bom. Este modo de agir chama-se correção fraterna: ela não é uma reação à ofensa de que se foi vítima, mas é movida pelo amor ao irmão. (...) Se o irmão não me ouve? No evangelho de hoje Jesus indica uma gradualidade: primeiro, voltar a falar-lhe com outras duas ou três pessoas, para o ajudar a dar-se conta do que fez; se, mesmo assim, ele não aceita a observação, é preciso dizê-lo à comunidade; e se não ouve nem sequer a comunidade, é necessário fazer-lhe sentir o afastamento que ele mesmo causou. (...) Cada um, consciente dos próprios limites e defeitos, está chamado a aceitar a correção fraterna e a ajudar os outros com este serviço especial.(...) Outro fruto da caridade na comunidade é a oração concorde. Jesus diz: “(...) onde estiverem reunidos, em Meu nome, dois ou três, Eu estou no meio deles”. Certamente a oração pessoal é importante, aliás, indispensável, mas o Senhor garante a sua presença à comunidade que — mesmo se for muito pequena — está unida e é unânime, porque reflete a própria realidade de Deus Uno e Trino, comunhão perfeita de amor. (...) Devemos exercitar-nos quer na correção fraterna, que exige muita humildade e simplicidade de coração, quer na oração, para que se eleve a Deus de uma comunidade deveras unida em Cristo.

UM BOM E SANTO DOMINGO A TODOS.

HOMILIA DOMINICAL
30 DE AGOSTO DE 2026
22º DOMINGO DO TEMPO COMUM

Leitura do Dia

Primeira Leitura
Leitura do Livro do Profeta Jeremias - 20,7-9

Seduziste-me, Senhor, e deixei-me seduzir; foste mais forte, tiveste mais poder.
Tornei-me alvo de irrisão o dia inteiro, todos zombam de mim.
Todas as vezes que falo, levanto a voz, clamando contra a maldade e invocando calamidades; a palavra do Senhor tornou-se para mim fonte de vergonha e de chacota o dia inteiro.
Disse comigo: "Não quero mais lembrar-me disso nem falar mais em nome dele".
Senti, então, dentro de mim um fogo ardente a penetrar-me o corpo todo: desfaleci, sem forças para suportar.

Segunda Leitura
Leitura da Carta de São Paulo aos Romanos - 12,1-2

Pela misericórdia de Deus, eu vos exorto, irmãos, a vos oferecerdes em sacrifício vivo, santo e agradável a Deus:
Este é o vosso culto espiritual.
Não vos conformeis com o mundo, mas transformai-vos, renovando vossa maneira de pensar e de julgar, para que possais distinguir o que é da vontade de Deus, isto é, o que é bom, o que lhe agrada, o que é perfeito.

Evangelho do Dia
Proclamação do Evangelho de Jesus Cristo segundo Mateus - 16,21-27

Naquele tempo, Jesus começou a mostrar a seus discípulos que devia ir a Jerusalém e sofrer muito da parte dos anciãos, dos sumos sacerdotes e dos mestres da Lei, e que devia ser morto e ressuscitar no terceiro dia.
Então Pedro tomou Jesus à parte e começou a repreendê-lo, dizendo:
"Deus não permita tal coisa, Senhor! 
Que isso nunca te aconteça!"
Jesus, porém, voltou-se para Pedro, e disse:
"Vai para longe, satanás!
Tu és para mim uma pedra de tropeço, porque não pensas as coisas de Deus, mas sim as coisas dos homens!"
Então Jesus disse aos discípulos:
"Se alguém quer me seguir, renuncie a si mesmo, tome a sua cruz e me siga.
Pois, quem quiser salvar a sua vida vai perdê-la; e quem perder a sua vida por causa de mim, vai encontrá-la.
De fato, que adianta ao homem ganhar o mundo inteiro, mas perder a sua vida?
O que poderá alguém dar em troca de sua vida?
Porque o Filho do Homem virá na glória do seu Pai, com os seus anjos, e então retribuirá a cada um de acordo com a sua conduta".

As palavras dos Papas

Também hoje, há a tentação de querer sempre seguir um Cristo sem cruz, aliás, de ensinar a Deus a estrada certa (...) mas Jesus recorda-nos que o seu caminho é o do amor, e não há amor verdadeiro sem o sacrifício de si mesmo. Somos chamados a não nos deixarmos absorver pela visão deste mundo, mas a estar cada vez mais cientes da necessidade e da fadiga para nós cristãos de caminhar contracorrente e em subida. Jesus contempla a sua proposta com palavras que exprimem uma grande sabedoria sempre válida, porque desafiam a mentalidade e os comportamentos egocêntricos. Ele exorta: «Aquele que quiser salvar a sua vida, perdê-la-á; mas aquele que tiver sacrificado a sua vida por minha causa, recobrá-la-á» (v. 25). Neste paradoxo está contida a regra de ouro que Deus inscreveu na natureza humana criada em Cristo: a regra que só o amor dá sentido e felicidade à vida. Dedicar os próprios talentos, as próprias energias e o próprio tempo só para salvar, proteger e realizar-se a si mesmos, leva na realidade a perder-se, ou seja, a uma existência triste e estéril. Ao contrário, vivamos pelo Senhor e construamos a nossa vida no amor, como fez Jesus: poderemos saborear a alegria autêntica, e a nossa vida não será estéril, será fecunda. (...) Maria Santíssima, que seguiu Jesus até ao Calvário, nos acompanhe também a nós e nos ajude a não ter medo da cruz, mas com Jesus crucificado, e não uma cruz sem Jesus, a cruz com Jesus, ou seja, a cruz de sofrer por amor de Deus e dos irmãos, porque esse sofrimento, pela graça de Cristo, é fecundo de ressurreição.

UM BOM E SANTO DOMINGO A TODOS.

 HOMILIA DOMINICAL
23 DE AGOSTO DE 2026
21º DOMINGO DO TEMPO COMUM

Leitura do Dia

Primeira Leitura
Leitura do Livro do Profeta Isaías - 22,19-23

Assim diz o Senhor a Sobna, o administrador do palácio: "Eu vou te destituir do posto que ocupas e demitir-te do teu cargo.
Acontecerá que nesse dia chamarei meu servo Eliacim, filho de Helcias, e o vestirei com a tua túnica e colocarei nele a tua faixa, porei em suas mãos a tua autoridade; ele será um pai para os habitantes de Jerusalém e para a casa de Judá.
Eu o farei levar aos ombros a chave da casa de Davi; ele abrirá, e ninguém poderá fechar; ele fechará, e ninguém poderá abrir.
Hei de fixá-lo como estaca em lugar seguro e aí ele terá o trono de glória na casa de seu pai".

Segunda Leitura
Leitura da Carta de São Paulo aos Romanos - 11,33-36

Ó profundidade da riqueza, da sabedoria e da ciência de Deus!
Como são inescrutáveis os seus juízos e impenetráveis os seus caminhos!
De fato, quem conheceu o pensamento do Senhor?
Ou quem foi seu conselheiro?
Ou quem se antecipou em dar-lhe alguma coisa, de maneira a ter direito a uma retribuição?
Na verdade, tudo é dele, por ele e para ele.
A ele a glória para sempre. Amém!

Evangelho do Dia
Proclamação do Evangelho de Jesus Cristo segundo Mateus - 16,13-20

Naquele tempo, Jesus foi à região de Cesareia de Filipe e aí perguntou a seus discípulos:
"Quem dizem os homens ser o Filho do Homem?"
Eles responderam:
"Alguns dizem que é João Batista; outros, que é Elias; outros ainda, que é Jeremias ou algum dos profetas".
Então Jesus lhes perguntou:
"E vós, quem dizeis que eu sou?"
Simão Pedro respondeu:
"Tu és o Messias, o Filho do Deus vivo".
Respondendo, Jesus lhe disse:
"Feliz és tu, Simão, filho de Jonas, porque não foi um ser humano que te revelou isso, mas o meu Pai que está no céu.
Por isso, eu te digo que tu és Pedro, e sobre esta pedra construirei a minha Igreja, e o poder do inferno nunca poderá vencê-la.
Eu te darei as chaves do Reino dos Céus: tudo o que tu ligares na terra será ligado nos céus; tudo o que tu desligares na terra será desligado nos céus".
Jesus, então, ordenou aos discípulos que não dissessem a ninguém que ele era o Messias.

As palavras dos Papas

No centro do Evangelho que escutámos, está a pergunta que Jesus faz aos seus discípulos, e que hoje dirige também a nós, para que possamos discernir se o caminho da nossa fé conserva ainda o dinamismo e a vitalidade, se a chama da nossa relação com o Senhor continua acesa: «E vós, quem dizeis que Eu sou?» (Mt 16, 15). Todos os dias, em cada hora da história, devemos estar sempre atentos a esta pergunta. Se não quisermos que o nosso ser cristão se reduza a uma herança do passado, como tantas vezes nos alertou o Papa Francisco, é importante sair do risco de uma fé cansada e estática, para nos perguntarmos: quem é Jesus Cristo para nós hoje? Que lugar ocupa ele na nossa vida e na ação da Igreja? Como podemos testemunhar esta esperança na vida quotidiana e anunciá-la àqueles que encontramos? Irmãos e irmãs, o exercício do discernimento, que nasce destas perguntas, permite que a nossa fé e a Igreja continuamente se renovem e experimentem novos caminhos e novas práticas no anúncio do Evangelho. Isto, juntamente com a comunhão, deve ser o nosso primeiro desejo. 

UM BOM E SANTO DOMINGO A TODOS.

NOTÍCIAS EM DESTAQUE

LEI SECA PASSA A TER NOVAS REGRAS DE FISCALIZAÇÃO; SAIBA O QUE MUDA

As mudanças já estão em vigor, mas os órgãos de trânsito têm um prazo de 60 dias para se adaptar.

Por Jornal Nacional - 19/08/2026 20h13  Atualizado há 2 horas

O Conselho Nacional de Trânsito atualizou as regras para a fiscalização da Lei Seca em todo o Brasil.

Quem já foi parado em uma blitz pode ter visto um equipamento que serve para detectar a presença de álcool no ar. Agora, esse aparelho passa a fazer parte de uma triagem. Se não acusar nada, o motorista é liberado. Mas se apontar indícios de álcool, aí o motorista deve seguir para o teste do bafômetro, que é o que tem valor legal para uma autuação. A medida padroniza o que já acontecia em estados como Rio de Janeiro e Espírito Santo, além das rodovias federais.

Outro ponto é o chamado "álcool residual". A regra detalha quando deve ser feito o reteste. Isso para evitar eventuais interferências no resultado. Entre elas, o consumo de produtos que deixam vestígios temporários de álcool na boca, como alguns tipos de pão, bombons de licor ou enxaguantes bucais. Se o teste passivo der positivo, o agente deve fazer uma nova avaliação antes de qualquer conclusão.

A fiscalização não está restrita apenas ao consumo de bebidas alcoólicas. A nova regra também regulamenta a fiscalização para detectar outras substâncias que comprometem a capacidade de dirigir - como drogas ilícitas - em conjunto com a análise do comportamento do motorista. Nesse caso, o agente deverá registrar no auto de infração pelo menos dois sinais que confirmem a alteração da capacidade psicomotora.

O uso de equipamento para a detecção de drogas não é obrigatório. A resolução não define um modelo específico, mas estabelece que os aparelhos precisam passar por certificação.

Em caso de acidentes, os envolvidos devem ser testados sempre que possível. Se houver morte, o exame para álcool ou outras substâncias passa a ser obrigatório. Quem se recusar a fazer o teste continua sujeito às penalidades já previstas no Código de Trânsito, como multa e suspensão da carteira.

As mudanças já estão em vigor, mas os órgãos de trânsito têm um prazo de 60 dias para se adaptar. O coordenador de fiscalização do Detran no Distrito Federal reforça a conscientização sobre álcool e direção.

“Essa combinação é monstruosa. Ela é destrutiva, ceifa vidas, combinação álcool e direção. Ninguém quer que a pessoa seja talhada da diversão, mas que ela possa programar uma carona solidária, um aplicativo, um táxi, um familiar para buscar, mas nunca coloque em risco sua própria vida e a vida de terceiros”, afirma Anderson Caldas, coordenador de Policiamento e Fiscalização de Trânsito do Detran-DF.

 CURIOSIDADES EM DESTAQUE
142857
UM NÚMERO MÁGICO QUE FACINA OS MATEMÁTICOS

Por que 142857 é um número mágico que fascina os matemáticos há séculos.
Esse curioso número esconde um padrão surpreendente: seus algarismos dançam em uma das coreografias mais elegantes da aritmética.

142857 é um número famoso, pelo menos em certos círculos... E também bastante brincalhão.

Ele começou a chamar a atenção de eminentes matemáticos há séculos e fascinou estudiosos da teoria dos números.

Os esotéricos também o apreciaram.

Entre seus entusiastas estão ocultistas como Willis F. Whitehead, para quem 142857 era "a expressão numérica da vida, da luz e do amor".

Mas, em um plano mais mundano, tornou-se um clássico da matemática recreativa.

Ele se popularizou graças a figuras como Martin Gardner e Shakuntala Devi — a calculadora mental indiana conhecida como a "computadora humana" — que mostraram que qualquer pessoa podia se divertir explorando suas curiosidades.

O número chegou inclusive a ter um papel de destaque no romance cult Ratner's Star (A Estrela de Ratner), de 1976, do aclamado autor pós-moderno americano Don DeLillo. Na obra, um grupo de cientistas tenta decifrar o significado de uma mensagem transmitida por uma estrela distante da Via Láctea: esses seis dígitos.

Para os mágicos, ele é especialmente atraente porque permite surpreender o público, criando a ilusão de que podem prever o que vai acontecer ou ler mentes, aproveitando suas peculiares propriedades numéricas.

Um dos truques que qualquer um de nós pode fazer começa pedindo à pessoa que você quer impressionar que pegue a calculadora do celular e escreva 10101.

Depois, sem olhar, diga para ela multiplicar esse número por qualquer número de 1 a 6, dividi-lo por 7 e, em seguida, multiplicá-lo por 99.

Com absoluta confiança, declare que o resultado contém exatamente os dígitos 1, 2, 4, 5, 7 e 8.

Mas afinal, o que torna esse número tão peculiar?

A razão matemática de seus atrativos

Para começar a descobrir o que há de tão surpreendente no 142857, vale a pena multiplicá-lo.

Não se preocupe: nós fazemos isso por você — basta observar o resultado.

• 142857 × 1 = 142857

• 142857 × 2 = 285714

• 142857 × 3 = 428571

• 142857 × 4 = 571428

• 142857 × 5 = 714285

• 142857 × 6 = 857142

Percebeu que todos os resultados contêm os mesmos dígitos, apenas em ordem diferente?

Nosso número é composto por seis dígitos e, ao multiplicá-lo por cada número de 1 a 6, obtemos todas as rotações possíveis dessas seis cifras.

Essa propriedade incomum o transforma, em termos matemáticos, em um número cíclico — isto é, um número de n dígitos que, ao ser multiplicado por qualquer inteiro de 1 a n, produz como resultado uma rotação de seus próprios dígitos na mesma ordem circular.

Mas voltemos a observar as multiplicações, porque há outras peculiaridades.

Por exemplo, quando multiplicamos 142857 por 3, o resultado é 428571.

É como se os números estivessem ligados por um fio circular invisível: se você cortar esse fio em qualquer ponto, o resultado continua seguindo o padrão no sentido horário.

Nesse caso, é como se tivéssemos cortado o fio entre os números 1 e 4, mas os dígitos que seguem o 4 mantêm a mesma ordem, até completar o círculo.

Por que 142857 é um número mágico que fascina os matemáticos há séculos. 

Isso acontece com todos: ao multiplicá-lo por 6, o resultado começa com 8 e continua com os números que aparecem ao girar: 5, 7, 1, 4 e 2.

Mas o que acontece se você cruzar o limite e multiplicar 142857 por 7?

A magia do 7

Se multiplicarmos 142857 por 7, algo surpreendente acontece: o resultado é 999999.

É como se, depois de seis rotações mágicas, o número quisesse continuar nos divertindo.

Já que estamos falando de noves, podemos até brincar com suas partes:

• 14 + 28 + 57 = 99
• 142 + 857 = 999
• 1428 + 5714 + 2857 = 9999

Deixamos convenientemente de fora 1 + 4 + 2 + 8 + 5 + 7 porque dá 27? Sim — embora, se formos fiéis ao padrão de resultados com o mesmo número de dígitos que a soma, 2 + 7 = 9.

Outra curiosidade é que, se você inserir um 9 no centro do número, de modo que fique 142 9 857, ao multiplicá-lo por qualquer número de 1 a 6, o produto mantém a natureza cíclica, conservando sempre um 9 no centro.

Por que 142857 é um número mágico que fascina os matemáticos há séculos

Voltando a 142857 × 7, o resultado não é casual: está diretamente relacionado ao fato de que 142857 é o período decimal de 1/7, e essa relação explica por que seus dígitos giram com tanta harmonia e por que seu "carrossel" funciona de maneira tão perfeita.

Se você dividir 1 por 7, obtém:

• 1 ÷ 7 = 0,142857142857142857…

Os seis dígitos (142857) se repetem indefinidamente. Esse bloco repetitivo é o que, na teoria dos números, se chama período da fração decimal.

Agora vem a chave: quando você divide 2, 3, 4, 5 ou 6 por 7, a sequência 142857 reaparece sempre, mas começando em um ponto diferente do ciclo.

E então o ciclo se fecha:

• 7 ÷ 7 = 1

Assim, o 999999 que apareceu quando multiplicamos 142857 por 7 não é coincidência: é o eco desse 1, que em linguagem matemática também pode ser escrito como 0,999999…

Se quiser ver isso em um exemplo mais cotidiano, divida o número de dias do ano pelo número de dias da semana:

• 365 ÷ 7 = 52,142857

Aí está nosso número, precedido por 52, que são as semanas de um ano.

Esse 0,142857 adicional equivale a 1 dia.

De fato, a cada ano não bissexto, o calendário "avança" um dia da semana. Por exemplo: se um ano começa numa segunda-feira, o seguinte começará numa terça-feira.

Se quiser ver essa relação entre 7 e 142857 ao contrário, aqui está:

• 1 ÷ 142857 = 0,000007000007…

Muito além do 7

Será que a brincadeira acaba se passarmos do 7?

• 142857 × 8 = 1142856

À primeira vista, parece que sim. Mas, se pegarmos o resultado, separarmos o primeiro dígito e o somarmos ao restante, obtemos:

• 1 + 142856 = 142857 — o número original, começando pelo menor dígito.

Pode parecer um pouco forçado, mas acontece que, se continuarmos fazendo o mesmo, o número cíclico aparece repetidamente, começando sempre por seus dígitos em ordem crescente (1, 2, 4, 5, 7, 8):

• 142857 × 9 = 1285713 → 1 + 285713 = 285714
• 142857 × 10 = 1428570 → 1 + 428570 = 428571
• 142857 × 11 = 1571427 → 1 + 571427 = 571428

E assim continua, até chegar a:

• 142857 × 14 = 1999998
• 1 + 999998 = 999999

Algo parecido acontece ao multiplicar por 21 (2 999 997 → 2 + 999 997 = 999 999), 28, 35…

Enfim, você provavelmente já percebeu o padrão: todos são múltiplos de 7.

Os matemáticos da matemática recreativa foram ainda mais longe para ver se conseguem voltar ao número original.

Um exemplo, entre muitos, é:

• 142857 × 142857 = 20408122449

Marcando 6 dígitos (n) a partir da direita e somando o restante:

• 122449 + 20408 = 142857

Se isso parece pouco…

• 142857 × 6.430.514.712.336 = 918.644.040.260.183.952

E, usando o mesmo método de pegar grupos de 6 dígitos a partir da direita:

• 183952 + 040260 + 918644 = 1142856

Como o resultado passa de 6 dígitos, fazemos:

• 1 + 142856 = 142857

Em resumo, por maior ou mais complicada que seja a trajetória, 142857 sempre encontra o caminho de volta.

Só eles?

Embora 7 e 142857 sejam especiais, não são únicos.

Muitos outros já foram encontrados, embora não se saiba quantos existam ao todo.

O que se sabe é que, entre todos, 142857 se destaca não apenas por ser o primeiro que normalmente encontramos, mas também por ser o único que não começa com zero.

O próximo número cíclico que aparece é 0588235294117647, que é o resultado de dividir 1 por 17.

Seus 16 dígitos comportam-se de maneira semelhante: ao multiplicá-los por qualquer número de 1 a 16, o produto é sempre uma rotação cíclica desses mesmos dígitos, apenas com um "carrossel" mais longo.

E quando o multiplicamos por 17, o resultado é 9999999999999999 — isto é, 16 noves, assim como 142857 × 7 produz seis noves.

Repare em algo que os caracteriza: a quantidade de dígitos que compõem um número cíclico é sempre um a menos que o número que o gera.

O gerado pelo 7 tem 6 dígitos.

O gerado pelo 17 tem 16 dígitos.

Outra particularidade fundamental aparece quando observamos os números menores que 100 que geram números cíclicos:

• 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61 e 97.

Todos são números primos (apenas divisível por 1 e por si próprio).

Embora nem todos os números primos produzam um número cíclico, todos os números cíclicos nascem de um primo.

Para ter essa "capacidade de criar" números cíclicos, o número primo precisa cumprir uma propriedade especial: ao dividir 1 por ele, deve-se obter uma sequência repetitiva de dígitos cuja extensão é exatamente um a menos que o valor do número.

Graças a isso, os dígitos podem girar em um carrossel perfeito, sem que nenhum desapareça ou se repita antes da hora. Esse é o segredo que garante que cada dígito tenha seu lugar e que o ciclo nunca se rompa.

Até hoje, os números cíclicos não têm aplicações práticas diretas em engenharia, finanças ou ciência aplicada, mas já foram úteis em áreas como a teoria dos números, a criptografia teórica e a teoria da codificação.